Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites):

d)

d / dx [ e^(2x) * ln( x + x * tan(x) ) ]

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a seguinte derivada:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Para a gente resolver ela, temos que aplicar a regra do produto.

Sejam f e g duas funções diferenciáveis, temos que a derivada do produto f g ' é dada por:

f g ' = f ' g + f g '

Também vamos precisar utilizar a regra da cadeia, onde para as mesmas funções f e g , temos:

[ f g x ' = f ' g x * g ' x

Agora vamos aplicar!!

😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra do produto, temos:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = ln ⁡ x + x tan ⁡ x d d x e 2 x + e 2 x d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Agora vamos calcular cada derivada separadamente.

Aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada, temos:

d d x e 2 x = 2 * e 2 x

Passo 3

Agora, para d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x , aplicando a regra da cadeia, temos:

d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = 1 x + x tan ⁡ x d d x x + x tan ⁡ x

Onde:

d d x x + x tan ⁡ x = d d x x + d d x x tan ⁡ x ∴

Aplicando a regra do produto:

d d x x + x tan ⁡ x = 1 + x ' tan ⁡ x + x tan ⁡ x ' ∴

d d x x + x tan ⁡ x = 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x

Portanto, temos:

d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

Passo 4

Dessa forma, substituindo na nossa derivada, temos:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = ln ⁡ x + x tan ⁡ x 2 e 2 x + e 2 x 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x ∴

Colocando o e 2 x em evidência:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = e 2 x 2 ln ⁡ x + x tan ⁡ x + 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = e 2 x 2 ln ⁡ x + x tan ⁡ x + 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

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Se h(2) = 4 e h'² = -3 , encontre d / dx { h(x) / x } | x = 2
Se f(x) = e^x * g(x) , onde g(0) = 2 e g'(0) = 5 , encontre f'(0) .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções.y = x * g(x) y = x / g(x) y = g(x) / x
62. a) Se F(x) = f(x) * g(x) , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F'' = f''g + 2f'g' + fg'' b) Encontre fórmulas análogas para F'''(x) e F^4 .c) Conjecture uma fórmula para F^n.
Derive a função:R(t) = (t + e^t)(3 - raiz(t))