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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Alexandre - P1 2015.1, Questão 1d

Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites):

d)

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a seguinte derivada:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Para a gente resolver ela, temos que aplicar a regra do produto.

Sejam f e g duas funções diferenciáveis, temos que a derivada do produto f g ' é dada por:

f g ' = f ' g + f g '

Também vamos precisar utilizar a regra da cadeia, onde para as mesmas funções f e g , temos:

[ f g x ' = f ' g x * g ' x

Agora vamos aplicar!!

😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra do produto, temos:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = ln ⁡ x + x tan ⁡ x d d x e 2 x + e 2 x d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Agora vamos calcular cada derivada separadamente.

Aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada, temos:

d d x e 2 x = 2 * e 2 x

Passo 3

Agora, para d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x , aplicando a regra da cadeia, temos:

d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = 1 x + x tan ⁡ x d d x x + x tan ⁡ x

Onde:

d d x x + x tan ⁡ x = d d x x + d d x x tan ⁡ x ∴

Aplicando a regra do produto:

d d x x + x tan ⁡ x = 1 + x ' tan ⁡ x + x tan ⁡ x ' ∴

d d x x + x tan ⁡ x = 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x

Portanto, temos:

d d x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

Passo 4

Dessa forma, substituindo na nossa derivada, temos:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = ln ⁡ x + x tan ⁡ x 2 e 2 x + e 2 x 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x ∴

Colocando o e 2 x em evidência:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = e 2 x 2 ln ⁡ x + x tan ⁡ x + 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x = e 2 x 2 ln ⁡ x + x tan ⁡ x + 1 + tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x x + x tan ⁡ x

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