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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Alexandre - P1 2015.1, Questão 1e

Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites):

e)

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x x - 1 ln ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a seguinte derivada:

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

Para a gente resolver ela, temos que aplicar algumas regrinhas:

  1. Regra do produto:

    2. Sejam f e g duas funções diferenciáveis, temos que a derivada do produto f g ' é dada por:

    f g ' = f ' g + f g '

  2. Regra da cadeia:

    3. Também vamos precisar utilizar a regra da cadeia, onde para as mesmas funções f e g , temos:

    [ f g x ' = f ' g x * g ' x

  3. Regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Assim, aplicando a regra do quociente, temos:

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 ln ⁡ x * x 2 + 1 sin ⁡ x ' - x 2 + 1 sin ⁡ x * x - 1 ln ⁡ x ' x - 1 ln ⁡ x 2

Agora vamos resolver as derivadas que nos restaram.

😉

Passo 2

Aplicando a regra do produto em x 2 + 1 sin ⁡ x ' , temos:

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x = x 2 + 1 d d x sin ⁡ x + sin ⁡ x d d x x 2 + 1 ∴

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x = x 2 + 1 [ cos ⁡ x ] + sin ⁡ x [ 2 x ] ∴

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x = x 2 + 1 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x - 1 ln ⁡ x ' , temos:

d d x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 d d x ln ⁡ x + ln ⁡ x d d x x - 1 ∴

d d x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 1 x + ln ⁡ x 1 2 x - 1 ∴

d d x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 x + ln ⁡ x 2 x - 1

Passo 4

Dessa forma, substituindo na nossa derivada, temos:

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 ln ⁡ x * x 2 + 1 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x - x 2 + 1 sin ⁡ x * x - 1 x + ln ⁡ x 2 x - 1 x - 1 ln ⁡ x 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x x 2 + 1 sin ⁡ x x - 1 ln ⁡ x = x - 1 ln ⁡ x * x 2 + 1 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x - x 2 + 1 sin ⁡ x * x - 1 x + ln ⁡ x 2 x - 1 x - 1 ln ⁡ x 2

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