Calcule a derivada f'(x):

f(x) = (a*x + b) / (c*x + d), com a*d - b*c = 1

Passo 1

Fala aí, galera!!! Vamos aplicar a regra do quociente, beleza?

O que essa regrinha diz pra gente é que:

f g ' = f ' . g - f . g ' g 2

Vamos chamar de f = a x + b e g = c x + d

Passo 2

Vamos então aplicar nossa regrinha:

f ' = d d x a x + b = a

g ' = d d x c x + d = c

g 2 = c x + d 2 = c 2 x 2 + 2 c x d + d 2

Substituindo na nossa f ' x :

f ' x = a c x + d - a x + b c c 2 x 2 + 2 c x d + d 2

Vamos agora partir pro algebrismo e rearranjar essa equação!

f ' x = a c x + a d - a c x - c b c x 2 + 2 c x d + d 2

f ' x = a d - c b c x 2 + 2 c x d + d 2

O enunciado nos diz que a d - c b = 1 ,

f ' ( x ) = 1 c x 2 + 2 c x d + d 2

Ou ainda podemos dizer pra ficar mais bonitinho que:

f ' x = 1 c x + d 2

Resposta

f ' x = 1 c x + d 2

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