Calcule a derivada de

f(x) = (e^(2x)) / (cos(x²))

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão?? 

Essa questão quer que encontremos a derivada da função

f x = e 2 x c o s x ²

Qual é a melhor forma de resolver essa questão?

Bom, quando você estudou derivadas certamente viu a regra do quociente e como desejamos saber a derivada de uma divisão de funções essa regra cai como uma luva. Bora lá relembrar o que diz essa regra então:

f ( x ) = h ( x ) g ( x )

f ' x = h ' x g x - h ( x ) g ' ( x ) g ² ( x )

Adaptando ao nosso problema, teremos que h x = e 2 x   e   g x = c o s x ²   , calculando as respectivas derivadas:

h ' x = 2 e 2 x

g ' x =   - s e n x 2 ⋅ 2 x

Aplicando a regra do quociente temos:

f ' x = 2 e 2 x ⋅ c o s x 2 - e 2 x ⋅ ( - 2 x s e n x 2 ) c o s ² x ²

Passo 2

Desenvolvendo o cálculo da derivada encontrada no passo anterior encontramos:

f ' x = 2 e 2 x ⋅ c o s x 2 - e 2 x ⋅ ( - 2 x s e n x 2 ) c o s ² x ²

= 2 e 2 x c o s x 2 + ( 2 e 2 x x s e n x 2 ) c o s ² x ²

Lembrando que t g x 2 = s e n   x 2 c o s c o s   x 2     e s e c s e c   x 2   = 1 c o s x ² :

= 2 e 2 x c o s x ² + 2 e 2 x x   t g x ² c o s x ²

= 2 e 2 x s e c x ² + 2 e 2 x x   t g x ² s e c x ²

Portanto,

f ' x = e 2 x c o s x 2 =   2 e 2 x s e c x ² + 2 e 2 x x   t g x ² s e c x ²

E é isso xuxus, tudo bem?? Sobrevivemos!

Até mais!

Resposta

2 e 2 x s e c x ² + 2 e 2 x x   t g x ² s e c x ²

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