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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UnB, Cálculo 1 – Lista 5: Retas Tangentes e Derivadas – Questão 7e

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo

e) f x = 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ 3 x - 4 x + 6

Passo 1

Fala pessoaaal, vamos lá ficar craques nas técnicas de derivação

Queremos encontrar a derivada dessa função

f x = 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ 3 x - 4 x + 6

Opa, repara que temos o produto de duas funções

O que isso te lembra??? Isso aí! Regra do produto!

Quando temos uma função do tipo f x = g x ∙ h ( x ) , a sua derivada vai ser

f ' x = g ' x ∙ h x + g x ∙ h ' ( x )

Então vamos aplicar isso!

Passo 2

Temos a função

f x = 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ 3 x - 4 x + 6

Pela regra do produto, a derivada dela vai ser

f ' x = 4 x 3 - 5 x 3 + x ' ∙ 3 x - 4 x + 6 + 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ 3 x - 4 x + 6 '

Show, agora temos que encontrar as derivadas dessas funções aí nos dois termos, vamos fazer uma por uma?

Chamando g x = 4 x 3 - 5 x 3 + x , podemos escrever essa função assim:

g x = 4 x 3 - 5 x - 3 + x 1 2

Opa, é uma função que envolve apenas termos do tipo x m , e nesse tipo de função, a derivada é m ∙ x m - 1 , então:

g ' x = 3 ∙ 4 ∙ x 3 - 1 - 5 ∙ - 3 ∙ x - 3 - 1 + 1 2 ∙ x 1 2 - 1

g ' x = 12 x 2 + 15 x - 4 + 1 2 x - 1 2

Beleza, já temos a derivada da primeira função, agora precisamos encontrar a derivada da outra função envolvida

Passo 3

Vamos chamar h x = 3 x - 4 x + 6 , podemos escrever essa função assim:

h x = 3 x - 1 - 4 x + 6

Então, sua derivada vai ser

h ' x = - 1 ∙ x - 1 - 1 - 4 + 0

h ' x = - x - 2 - 4

Boaaaa, agora temos a derivada das duas funções e podemos voltar lá pro f ' ( x )

Passo 4

Temos

f ' x = 4 x 3 - 5 x 3 + x ' ∙ 3 x - 4 x + 6 + 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ 3 x - 4 x + 6 '

Substituindo as derivadas que encontramos nos passos anteriores:

f ' x = 12 x 2 + 15 x - 4 + 1 2 x - 1 2 ∙ 3 x - 4 x + 6 + 4 x 3 - 5 x 3 + x ∙ - x - 2 - 4

Fazendo a distributiva:

f ' x = 36 x - 48 x 3 + 72 x 2 + 45 x - 5 + 60 x - 3 + 90 x - 4 + 3 2 x - 3 2 - 2 x 1 2 + 3 x - 1 2 - 4 x - 16 x 3 + 5 x - 5 + 20 x - 3 - x - 3 2 - 4 x 1 2

Juntando os termos:

f ' x = 3 2 x - 64 x 3 + 72 x 2 + 50 x - 5 + 8 0 x - 3 + 90 x - 4 + 1 2 x - 3 2 - 6 x 1 2 + 3 x - 1 2

Sucessooo

Resposta

f ' x = 32 x - 64 x 3 + 72 x 2 + 50 x - 5 + 80 x - 3 + 90 x - 4 + 1 2 x - 3 2 - 6 x 1 2 + 3 x - 1 2

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