USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 4.2a
Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui
E pediu para calcularmos a derivada dela.
Uma inversa trigonométrica! Mas só sabemos a derivada das trigonométricas, não de suas inversas! E agora, como sair daqui?
Mas espera aí! A ideia é sempre sair do que conhecemos! Então a ideia aqui é chamar
E aplicar a inversa
E derivar implicitamente!
Nossa missão é usar derivada implícita para achar . Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Bora lá!
Passo 2
Nosso truquinho
Agora derivando implicitamente em relação a dos dois lados
Isolando a derivada temos
Mas ,
E lembrando da identidade trigonométrica
Ficamos com
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Mas nossa derivada é em relação a , então vamos a mais um truque sujo!
Vamos multiplicar e dividir por o lado direito da derivada
Tudo bem até aqui? Calma que não tem mais truque sujo!
Agora vamos lembrar que
E por fim podemos retornar para ! Isso porque
Daí nossa derivada da inversa da tangente é
E é isso! Até a próxima!