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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 13e.

13. Calcule as derivadas das seguintes funções

e) p x = 2 - a r c t g x 3 a r c c o s x + 5

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que obter a derivada da função p x dada por p x = 2 - a r c t g x 3 a r c c o s x + 5

Como podemos obter esse resultado? 🤔

Olhando para p x , vemos que se trata de um quociente de duas funções: 2 - a r c t g x e 3 a r c c o s x + 5 .

Nesse caso, podemos aplicar a regra do quociente que diz que a derivada de uma fração é dada por

p x = f x g x → p ' x = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Entendeu? Bora começar! 😊

Passo 2

Aplicando a regra no nosso caso, temos

p ' x = d 2 - a r c t g x d x · 3 a r c c o s x + 5 - 2 - a r c t g x · d 3 a r c c o s x + 5 d x 3 a r c c o s x + 5 2

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

p ' x = d 2 d x - d a r c t g x d x · 3 a r c c o s x + 5 - 2 - a r c t g x · d 3 a r c c o s x d x + d 5 d x 3 a r c c o s x + 5 2

Tirando a constante 3 de d 3 a r c c o s x d x , temos

p ' x = d 2 d x - d a r c t g x d x · 3 a r c c o s x + 5 - 2 - a r c t g x · 3 d a r c c o s x d x + d 5 d x 3 a r c c o s x + 5 2

Sabemos que a derivada de uma constante é 0 , logo

d 2 d x = d 5 d x = 0

p ' x = - d a r c t g x d x · 3 a r c c o s x + 5 - 2 - a r c t g x · 3 d a r c c o s x d x 3 a r c c o s x + 5 2

Por fim, pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de a r c t g x e a r c o s x são

d a r c t g x d x = 1 x 2 + 1

d a r c c o s x d x = - 1 1 - x 2

Substituindo em p ' x

p ' x = - 1 x 2 + 1 · 3 a r c c o s x + 5 - 2 - a r c t g x · 3 - 1 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2

Organizando um pouquinho...

p ' x = - 3 a r c c o s x + 5 x 2 + 1 - 2 - a r c t g x - 3 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2

p ' x = - 3 a r c c o s x + 5 x 2 + 1 + 6 - 2 a r c t g x 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2

Multiplicando em cima e em baixo por x 2 + 1 1 - x 2

p ' x = - 3 a r c c o s x + 5 x 2 + 1 + 6 - 2 a r c t g x 1 - x 2 x 2 + 1 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2 x 2 + 1 1 - x 2

p ' x = x 2 + 1 6 - 2 a r c t g x - 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 x 2 + 1 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

p ' x = x 2 + 1 6 - 2 a r c t g x - 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 x 2 + 1 1 - x 2 3 a r c c o s x + 5 2

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