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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 13f.

13. Calcule as derivadas das seguintes funções

f) q x = 2 2 + a r c s e n x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que obter a derivada da função q x dada por q x = 2 2 + a r c s e n x

Como podemos obter esse resultado? 🤔

Olhando para q x , vemos que se trata de um quociente de duas funções: 2 e 2 + a r c s e n x .

Nesse caso, podemos aplicar a regra do quociente que diz que a derivada de uma fração é dada por

q x = f x g x → q ' x = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Porém, perceba também que no denominador há um termo que é uma função composta: a r c s e n x

Nesse caso, a derivada desse termo se dá pela regra da cadeia, ou seja

g x = h j x → g ' x = j ' x h ' j x

Bora ver na prática! 😉

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do quociente...

q ' x = d 2 d x · 2 + a r c s e n x - 2 · d 2 + a r c s e n x d x 2 + a r c s e n x 2

Sabemos que a derivada de uma constante é 0 , portanto d 2 d x = 0

q ' x = - 2 · d 2 + a r c s e n x d x 2 + a r c s e n x 2

Sabemos também que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja

q ' x = - 2 · d 2 d x + d a r c s e n x d x 2 + a r c s e n x 2

q ' x = - 2 · d a r c s e n x d x 2 + a r c s e n x 2

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Para obter a derivada de a r c s e n x , temos que aplicar a regra da cadeia

d a r c s e n x d x = d a r c s e n x d x · d a r c s e n x d a r c s e n x

Substituindo a r c s e n x por uma variável na segunda derivada, temos que

d a r c s e n x d x = d a r c s e n x d x · d u d u

Substituindo em q ' x

q ' x = - 2 · d a r c s e n x d x · d u d u 2 + a r c s e n x 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de a r c s e n x é

d a r c s e n x d x = 1 1 - x 2

Já pelo método de derivação polinomial, temos

d u d u = 1 2 u

Substituindo esses resultados em q ' x

q ' x = - 2 · 1 1 - x 2 · 1 2 u 2 + a r c s e n x 2

Voltando para o domínio de x substituindo u por a r c s e n x

q ' x = - 2 · 1 1 - x 2 · 1 2 a r c s e n x 2 + a r c s e n x 2

q ' x = - 2 2 1 - x 2 a r c s e n x 2 + a r c s e n x 2

q ' x = - 2 2 1 - x 2 a r c s e n x 2 + a r c s e n x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

q ' x = - 2 2 1 - x 2 a r c s e n x 2 + a r c s e n x 2

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