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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 13d.

13. Calcule as derivadas das seguintes funções

d) k x = x cos ⁡ x a r c t g x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que obter a derivada da função k x dada por k x = x cos ⁡ x a r c t g x

Como podemos obter esse resultado? 🤔

Olhando para k x , vemos que se trata de um quociente de duas funções: x e cos ⁡ x a r c t g x .

Nesse caso, podemos aplicar a regra do quociente que diz que a derivada de uma fração é dada por

k x = f x g x → k ' x = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Porém perceba que g x é o produto de funções, então em g ' x podemos aplicar a regra do produto

g x = p x q x → g ' x = p ' x q x + p x q ' x

Bora começar! 😁

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, temos

k ' x = d x d x · cos ⁡ x a r c t g x - x · d cos ⁡ x a r c t g x d x cos ⁡ x a r c t g x 2

Porém temos que aplicar a regra do produto em d cos ⁡ x a r c t g x d x

d cos ⁡ x a r c t g x d x = d cos ⁡ x d x · a r c t g x + cos ⁡ x · d a r c t g x d x

Substituindo em k ' x

k ' x = d x d x · cos ⁡ x a r c t g x - x · d cos ⁡ x d x · a r c t g x + cos ⁡ x · d a r c t g x d x cos ⁡ x a r c t g x 2

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x é

d x d x = 1 2 x

Já pelo teorema fundamental do cálculo as derivadas de cos ⁡ x e a r c t g x são

d cos ⁡ x d x = - s e n x

d a r c t g x d x = 1 x 2 + 1

Substituindo esses resultados em k ' x

k ' x = 1 2 x · cos ⁡ x a r c t g x - x · - s e n x · a r c t g x + cos ⁡ x · 1 x 2 + 1 cos ⁡ x a r c t g x 2

k ' x = cos ⁡ x a r c t g x 2 x + x s e n x a r c t g x - cos ⁡ x x 2 + 1 cos ⁡ x a r c t g x 2

Simplificando multiplicando em cima e em baixo por 2 x

k ' x = cos ⁡ x a r c t g x 2 x + x s e n x a r c t g x - cos ⁡ x x 2 + 1 2 x cos ⁡ x a r c t g x 2 2 x

k ' x = cos ⁡ x a r c t g x + 2 x s e n x a r c t g x - cos ⁡ x x 2 + 1 2 x cos 2 ⁡ x a r c t g 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

k ' x = cos ⁡ x a r c t g x + 2 x s e n x a r c t g x - cos ⁡ x x 2 + 1 2 x cos 2 ⁡ x a r c t g 2 x

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