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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Cálculo 1, AV3 - 2019.1, Questão 4

Considere a função f e suas derivadas definidas abaixo

f ( x ) = - 2 x 2 x 2 - 1

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

f ' ' ( x ) = - 4 - 12 x 2 ( x 2 - 1 ) 3

Sobre os pontos críticos e extremos relativos locais da função f , podemos afirmar:

  1. o conjunto dos pontos críticos de f é { - 1,0 , 1 } , f possui máximo relativo em x = 0 e não possui mínimo relativo
  2. o conjunto dos pontos críticos de f é { - 1,0 , 1 } , f possui mínimo relativo em x = 0 e não possui máximo relativo
  3. o conjunto dos pontos críticos de f é { 0 } . f possui máximo relativo em x = 0 e não possui mínimo relativo
  4. o conjunto dos pontos críticos de f é { 0 } . f possui mínimo relativo em x = 0 e não possui máximo relativo
  5. f não possui pontos críticos nem extremos relativos

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir se a nossa f tem pontos críticos, quem são eles e se são pontos de máximo ou mínimo.

f ( x ) = - 2 x 2 x 2 - 1

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

O que podemos usar para verificar os pontos críticos de uma função? A sua derivada!!!! Vamos lembrar, os pontos críticos de uma função são os valores de x onde sua derivada é zero. A derivada de f é:

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

Bem vamos achar os pontos críticos

f ' ( x ) = 0

⇔ 4 x ( x 2 - 1 ) 2 = 0

⇔ x = 0

Ou seja, só temos um ponto crítico para f , que o ponto x = 0 . Agora, esse ponto é de máximo ou de mínimo?

Passo 2

No passo anterior, descobrimos que x = 0 é um crítico de f , mas é de máximo ou mínimo? Existe um teste para isso, lembram dele? Usamos o comportamento do sinal da derivada. Se o sinal da derivada à esquerda do ponto é negativa e a direita positiva, então temos um ponto de mínimo.

E se o sinal à esquerda for positivo e a direita negativo, temos um ponto de máximo.

Como a nossa derivada é

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

Vamos analisar f ' . Podemos observar que o denominador é sempre positivo logo, o sinal só irá depender do numerador. Ou seja, para valores de x > 0 a nossa derivada é positiva e para valores abaixo é negativa.

Logo, f ' esquerda do ponto crítico é negativa e a direita positiva. Ou seja, x = 0 é um ponto de mínimo local.

Dessa forma podemos concluir a alternativa d ) que diz que o conjunto dos pontos críticos de f é { 0 } . f possui mínimo relativo em x = 0 e não possui máximo relativo

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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