Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Ver Teoria
Exercício 127123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 7c.

7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

c) não existe f ' ' 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que provar que não existe f ' ' 0 .

Já sabe o que temos que fazer? 🤔

Já calculamos a derivada de f e vimos que f ' é contínua.

Agora vamos calcular f ' ' e verificar o que acontece em x = 0 .

Bacana? 😁

Passo 2

Se f ' x = 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Então

f ' ' x = d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x ,     s e   x ≠ 0 d 0 d x ,     s e   x = 0

Começando pelo cálculo da derivada de 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x , podemos separar em duas derivadas...

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x = d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x + d x s e n 1 x d x

Para d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x , temos que pela regra do produto, temos

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x = d 3 x 2 d x · cos ⁡ 1 x + 3 x 2 · d cos ⁡ 1 x d x

Pela regra da cadeia...

d cos ⁡ 1 x d x = d 1 x d x · d cos ⁡ u d u

Substituindo em d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x = d 3 x 2 d x · cos ⁡ 1 x + 3 x 2 · d 1 x d x · d cos ⁡ u d u

d 3 x 2 cos ��� 1 x d x = 6 x cos ⁡ 1 x + 3 x 2 - 1 x 2 - s e n u

Simplificando e substituindo u por 1 / x ...

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x = 6 x cos ⁡ 1 x + 3 s e n 1 x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para d x s e n 1 x d x

Pela regra do produto, temos

d x s e n 1 x d x = d x d x · s e n 1 x + x · d s e n 1 x d x

A derivada de s e n 1 x é obtida pela regra da cadeia

d s e n 1 x d x = d 1 x d x · d s e n u d u

Logo...

d x s e n 1 x d x = d x d x · s e n 1 x + x · d 1 x d x · d s e n u d u

d x s e n 1 x d x = s e n 1 x + x · - 1 x 2 · cos ⁡ u

Simplificando e substituindo u por 1 / x

d x s e n 1 x d x = s e n 1 x - cos ⁡ 1 x x

Juntando os dois resultados...

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x = d 3 x 2 cos ⁡ 1 x d x + d x s e n 1 x d x

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x = 6 x cos ⁡ 1 x + 3 s e n 1 x + s e n 1 x - cos ⁡ 1 x x

d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x = 6 x cos ⁡ 1 x + 4 s e n 1 x - cos ⁡ 1 x x

Legal, né? 😁

Passo 4

Substituindo em f ' ' x , temos f ' ' x = d 3 x 2 cos ⁡ 1 x + x s e n 1 x d x ,     s e   x ≠ 0 d 0 d x ,     s e   x = 0

f ' ' x = 6 x cos ⁡ 1 x + 4 s e n 1 x - cos ⁡ 1 x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Se formos calcular o limite de f ' ' para x tendendo a 0 , teríamos problema para obter o limite de 4 s e n 1 x , pois em 4 s e n 1 x não poderíamos aplicar o teorema do confronto.

Mas podemos provar que f ' ' 0 não existe a partir do termo cos ⁡ 1 x x

Aplicando o teorema do confronto...

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Dividindo todos os lados por x

- 1 x ≤ cos ⁡ 1 x x ≤ 1 x

Se calculássemos os limites de todos os lados, temos

lim x → 0 ⁡ - 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 x

Sabemos que os limites de - 1 x e 1 x são - ∞ e ∞ respectivamente, pois como x tende a um valor tão pequeno que se aproxima de 0 , 1 / x tende a ∞

- ∞ ≤ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x x ≤ ∞

Portanto, lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x x diverge, que faz com que f ' ' 0 não exista.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' ' 0 diverge.

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )