UnB; Cálculo 1; Lista de Aplicações – Semana 09; Exercício 5
5) Denote por a velocidade de um corpo de massa que foi lançado verticalmente com velocidade inicial e sujeito a uma força de resistência do ar . Nesse caso, usando a aproximação da aceleração da gravidade, pode-se mostrar que é solução do problema de valor inicial
Para encontrar a solução , resolva os itens seguintes.
a) Calcule as derivadas das funções e .
b) Lembrando que se uma função tem derivada identicamente nula em um intervalo , então ela é constante em , use o item anterior e as informações dadas para obter uma relação entre as funções e .
c) Use o item anterior e a condição inicial para obter a expressão de .
d) Determine o instante em que o corpo alcança a altura máxima.
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Começando pelo item a), encontraremos a derivada de em relação ao tempo .
Essa é uma derivada bem simples, não é mesmo?
Já a outra função que precisamos derivar é um pouco mais complexa. Para essa função, temos que usar a regra da cadeia (já que estar em uma raiz torna uma função composta de ) e vamos relembrar que:
Então, para o nosso caso:
Passo 2
No item b), vamos utilizar os nossos cálculos do passo anterior para definir uma relação entre as duas funções.
Pelos cálculos do item anterior e como é a solução da equação do nosso enunciado, temos que:
Para todo tempo . Portanto as funções e diferem por uma constante, ou seja, tem-se que
Onde é uma constante que pertence ao conjunto dos números .
Passo 3
Partindo para o item c), vamos obter a expressão de .
Mais uma vez, usaremos as informações que encontramos no passo anterior para desenvolver o exercício.
Então, usando as informações do item anterior, temos que:
Como (essa informação retiramos do enunciado), obtem-se que:
Agora que conhecemos a constante , podemos aplicar na nossa igualdade encontrada no passo anterior:
Como você já percebeu, vamos resolver a igualdade para encontrar .
Resolvendo:
Continuando a resolução:
Finalizando:
Passo 4
No item d), precisamos definir qual o instante onde a altura é a maior possível. Como estamos falando de altura, precisaríamos de uma função que tratasse do espaço. Fisicamente, para isso, precisaríamos integrar a função de velocidade .
Porém, para encontrarmos um ponto de máxima (no caso, a altura máxima) teríamos que derivar a função de espaço uma vez e igualar a zero.
E como já temos essa “derivada” (que é a própria função de velocidade), só nos resta igualar a zero e resolver.
Muito bacana, né?
Então vamos nessa:
Continuando a resolução:
Resolvendo essa igualdade:
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
a) e
b) , com constante
c)
d)