8 . A derivada da função f x = cotg ⁡ x + 6 4 cossec ⁡ x é dada por

A :   - 1 4 cossec 2 ⁡ x

B :   - 1 - 6 cotg ⁡ x 4 cossec 2 ⁡ x

C :   - 1 - 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x

D :   - 1 - 6 sen ⁡ x 4 cossec ⁡ x

E :   1 - 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x

Passo 1

Vamos juntos derivar essa função juntos!

Para a gente conseguir derivar essa função vamos usar a regra do cociente, dada por:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

E vamos usar também as derivadas de cotg ⁡ x e de cossec ⁡ x , dadas por:

d d x cossec ⁡ x = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

d d x co tg ⁡ x = - cossec 2 ⁡ x

Vamos nessa então!

Passo 2

Temos o seguinte:

f x = cotg ⁡ x + 6 4 cossec ⁡ x

⇒ f ' x = cotg ⁡ x + 6 ' 4 cossec ⁡ x - ( cotg ⁡ x + 6 ) ( 4 cossec ⁡ x ) ' 4 cossec ⁡ x 2

= ( - cossec 2 ⁡ x ) 4 cossec ⁡ x - ( cotg ⁡ x + 6 ) ( - 4 cossec ⁡ x cotg ⁡ x ) 4 cossec ⁡ x 2

= - 4 cossec 3 ⁡ x + 4 cossec ⁡ x cotg 2 ⁡ x + 24 cossec ⁡ x cotg ⁡ x 16 cossec 2 ⁡ x

= - cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x + 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que:

cossec 2 ⁡ x = 1 sen 2 ⁡ x

cotg 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Então:

- cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x = - 1 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Usando que cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x , temos:

- cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x = - 1 sen 2 ⁡ x - s en 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x = - 1

Então a nossa derivada fica da seguinte forma:

f ' x = - 1 + 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x = - 1 - 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x

Então a alternativa correta é a letra C .

Resposta

C :   - 1 - 6 cotg ⁡ x 4 cossec ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )