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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 2.20d

Derive

d.     f ( x )   =     3 x 2 c o s   x ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que derivar

  f ( x )   =   3 x 2 c o s   x ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2

Para isso vamos utilizar a regra da cadeia, pois se trata de uma função composta, e também a regra do quociente, pois temos divisão de funções. Vamos lá!

Passo 2

Vamos derivar utilizando a regra do quociente e a regra da cadeia

f ' ( x )   =   d d x (   3 x 2 c o s   x ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 ) = [ d d x ( x 2 3 c o s   x ) ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 -   (   3 x 2 c o s   x ) d d x ( ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 4

f ' ( x )   = [ d d x ( x 2 3 ) c o s   x + x 2 3 d d x ( c o s   x ) ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 -   (   3 x 2 c o s   x ) ( 2 ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) ( d d x x 4 + d d x t a n 2 x   ) ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 4

Passo 3

Agora as derivadas já tabeladas

[ d d x ( x 2 3 ) c o s   x + x 2 3 d d x ( c o s   x ) ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 -   (   3 x 2 c o s   x ) ( 2 ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) ( d d x x 4 + d d x t a n 2 x   ) ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 4 =

= [ 2 3 ( x 1 3 ) c o s   x - x 2 3 s i n   x ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 2 -   (   3 x 2 c o s   x ) ( 2 ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) ( 4   x 3 + 2   t a n   x   s e c 2 x   ) ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 4

f ' ( x )   = [ 2 3 ( x 1 3 ) c o s   x - x 2 3 s i n   x ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) -   (   3 x 2 c o s   x ) ( 2 ( 4   x 3 + 2   t a n   x   s e c 2 x   ) ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ' ( x )   = [ 2 3 ( x 1 3 ) c o s   x - x 2 3 s i n   x ] ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) -   (   3 x 2 c o s   x ) ( 2 ( 4   x 3 + 2   t a n   x   s e c 2 x   ) ) ( x 4 + t a n 2 x   + 1 ) 3 .

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