11) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f(x) = raiz(x) * sen(x) + x^(1/3)

Passo 1

Faaala galerinha!! Tudo bom com vocês?

Nesse exercício precisamos derivar a função f x = x ⋅ s e n x + x 1 3

Aqui é muito importante lembrarmos da regra do produto, para não cometermos aquele erro clássico de dizer que a derivada do produto é o produto das derivas (isso tá errado hein!!). Então para relembrar o jeito certo de fazer, a regra do produto diz que:

Se f x = h x ⋅ g ( x ) , então:

f ' x = h ' x ⋅ g x + h x ⋅ g ' ( x )

Além disso, temos que sempre lembrar as regras de derivação das funções mais clássicas, como os monômios, polinômios e funções trigonométricas simples.

x n ' = n ⋅ x n - 1

s e n x ' = c o s ⁡ ( x )

Passo 2

Beleza, agora que já temos uma visão geral da questão, bora descer a mão nas contas!

Lembra que a derivada da soma é a soma das derivadas?! Daí vem que:

f ' x = x ⋅ s e n x + x 1 3 ' = x ⋅ s e n x ' + x 1 3 '

Vamos por partes, pela regra do produto vale que:

x ⋅ s e n x ' = x ' ⋅ s e n x + x ⋅ s e n x '

Pela regra de derivação dos monômios:

x ' = x 1 2 ' = 1 2 ⋅ x 1 2 - 1 = 1 2 ⋅ x - 1 2 =   1 2 x

Substituindo esse resultado na nossa regra do produto, ficamos com:

x ' ⋅ s e n x + x ⋅ s e n x ' =   s e n x 2 x + x ⋅ cos ⁡ x

Ótimo, já derivamos o primeiro termo da soma de derivadas. Bora pro segundo!

x 1 3 ' = 1 3 ⋅ x 1 3 - 1 = 1 3 ⋅ x - 2 3

Excelente! Juntando todos esses resultados na derivada de f , temos que:

f ' x = s e n x 2 x + x ⋅ cos ⁡ x +   1 3 ⋅ x - 2 3    

Podemos tentar simplificar um pouquinho mais essa expressão:

f ' x = s e n x + 2 x c o s ( x ) 2 x + 1 3 ⋅ x 2 3

Prontinho, questão finalizada😊

Resposta

f ' x = s e n x + 2 x c o s ( x ) 2 x + 1 3 ⋅ x 2 3

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Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções.y = x * g(x) y = x / g(x) y = g(x) / x
62. a) Se F(x) = f(x) * g(x) , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F'' = f''g + 2f'g' + fg'' b) Encontre fórmulas análogas para F'''(x) e F^4 .c) Conjecture uma fórmula para F^n.
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