UFES, 2018.1, Lista 6, Q13
13) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).
Passo 1
Fala aí gente, tudo certo?
Basicamente, a questão nos pede para derivarmos a função
Aqui temos algo um pouco diferente, porque é formada pelo quociente de um produto de funções no numerador e por um polinômio no denominador. Nesse caso, vamos precisar usar tanto a regra do quociente, como a regra do produto. Assim, revisando elas rapidinho, a regra do produto fala que:
Se , então:
Já a regra do quociente, diz que:
Passo 2
Massa! Vamos dar nome às funções para conseguirmos aplicar nossas regrinhas!
Vamos olhar agora só o numerador e vamos chamar ele de , pra ficar igual à notação da regra do produto ali no passo 1:
Pra aplicar a regra do produto precisamos nomear e derivar as duas funções que se multiplicam:
Usando a regra do produto:
Beleza, agora pra aplicar a regra do quociente, também vamos nomear e derivar a função do denominador:
Passo 3
Ótimo! Como já temos todas as funções do problema, bem como as suas derivadas, vamos usar a regra do quociente para encontrar .
Substituindo as derivadas encontradas no passo 2:
Para simplificar um pouco, podemos colocar em evidência. O que nos dá:
Prontinho 😊