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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 4.3b

Derive:

b )   f x = tan ⁡ 3 x arctan ⁡ 3 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = tan ⁡ 3 x arctan ⁡ 3 x

E pediu para calcularmos sua derivada

e agora, você lembra das regras de derivação?

Temos três regras principais, pra isso precisamos verificar se temos um produto de funções, um quociente de funções ou se nossa função é composta:

  • Produto de funções: a b ' = a ' b - b ' a
  • Quociente de funções: a b ' = a ' b - b ' a b 2
  • Função composta: a b ' = a ' b .   b '

belezinha?

Agora é só olhar pra nossa função com mais carinho e #partiu derivada! Lembrando sempre da tabela de derivada das funções! Show!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

f x = tan ⁡ 3 x arctan ⁡ 3 x

Temos uma razão de funções: tangente em cima e arco tangente embaixo. Além disso dentro dos argumentos das duas funções temos uma outra função! Então precisamos aplicar quociente + cadeia aqui

a = tan ⁡ 3 x

a ' = 3 sec 2 ⁡ 3 x

b = arctan ⁡ 3 x

b ' = 3 ( 3 x ) 2 + 1

b 2 = arctan 2 ⁡ 3 x

Agora aplicando na regra do quociente

f ' x = 3 sec 2 ⁡ 3 x arctan ⁡ 3 x - 3 tan ⁡ 3 x ( 3 x ) 2 + 1 arctan 2 ⁡ 3 x

Por fim podemos só organizar um pouquinho

f ' x = 3 sec 2 ⁡ 3 x arctan  ⁡ 3 x - 3 tan ⁡ 3 x 3 x 2 + 1 arctan 2 ⁡ 3 x

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = 3 sec 2 ⁡ 3 x arctan  ⁡ 3 x - 3 tan ⁡ 3 x 3 x 2 + 1 arctan 2 ⁡ 3 x

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