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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Trabalho C1 - 2022.1, Questão 2gh

Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:

g )   f ( x ) = t 3 1 + t 2 h )   f ( x ) = 3 x 2 + 1

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá duas funções

g )   f ( x ) = t 3 1 + t 2 h )   f ( x ) = 3 x 2 + 1

precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de

f ( x ) = t 3 1 + t 2

Nesta função deve ter um erro de digitação da professora! Portanto, vou considerar a função tal que

f ( x ) = x 3 1 + x 2

que é agora o quociente de duas funções! Ou seja, podemos usar a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

podemos identificar que g ( x ) = x 3 e h ( x ) = 1 + x 2 . Vamos usar isso para resolver a derivada!

Passo 3

Escrevendo nossa regra do quociente, temos que

d d x [ x 3 1 + x 2 ] = d d x [ x 3 ] [ 1 + x 2 ] - x 3 d d x [ 1 + x 2 ] [ 1 + x 2 ] 2

Usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

temos que

d d x [ x 3 1 + x 2 ] = ( 3 x 3 - 1 ) [ 1 + x 2 ] - x 3 ( 0 + 2 ( x 2 - 1 ) ) [ 1 + x 2 ] 2 = 3 x 2 ( 1 + x 2 ) - 2 x 4 ( 1 + x 2 ) 2

Apenas distribuindo o numerador e simplificando termos comuns, temos que

d d x [ x 3 1 + x 2 ] = 3 x 2 + x 4 ( 1 + x 2 ) 2

Maravilha! Vamos calcular agora a derivada de segunda ordem!

Passo 4

Precisamos derivar novamente o resultado que obtivemos anteriormente, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ 3 x 2 + x 4 ( 1 + x 2 ) 2 ]

Aplicando a regra do quociente, temos que

d d x [ 3 x 2 + x 4 ( 1 + x 2 ) 2 ] = d d x [ 3 x 2 + x 4 ] ( 1 + x 2 ) 2 - [ 3 x 2 + x 4 ] d d x [ ( 1 + x 2 ) 2 ] ( 1 + x 2 ) 4

para evitar usar a regra da cadeia, vamos abrir o quadrado na segunda derivada, temos que

( 1 + x 2 ) 2 = 1 + 2 x 2 + x 4

Agora, podemos usar a regra do tombo para escrever que

d d x [ 3 x 2 + x 4 ] = 3 ( 2 ) x 2 - 1 + 4 x 4 - 1 = 6 x + 4 x 3

e, também, temos que

d d x [ ( 1 + x 2 ) 2 ] = d d x [ 1 + 2 x 2 + x 4 ] = 0 + 2 ( 2 ) x 2 - 1 + 4 x 4 - 1

ou, simplesmente

d d x [ ( 1 + x 2 ) 2 ] = 4 x + 4 x 3

Sendo assim, a nossa derivada de segunda ordem será

d d x [ 3 x 2 + x 4 ( 1 + x 2 ) 2 ] = ( 6 x + 4 x 3 ) ( 1 + x 2 ) 2 - [ 3 x 2 + x 4 ] ( 4 x + 4 x 3 ) ( 1 + x 2 ) 4

Aí está! A primeira alternativa para por aqui! Vamos para a próxima agora!

Passo 5

Temos que calcular a derivada da função

  f ( x ) = 3 x 2 + 1

essa é uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , portanto, precisamos aplicar a regra da cadeia

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

usando que g ( h ) = h = h 1 / 2 e que h ( x ) = 3 x 2 + 1 . Usando a regra do tombo podemos escrever que

d d h [ h 1 / 2 ] = 1 2 h 1 / 2 - 1 = 1 2 h - 1 / 2

e, também

d d x [ 3 x 2 + 1 ] = 3 ( 2 ) x 2 - 1 + 0 = 6 x

Usando ambos os resultados, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 1 2 ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ( 6 x ) = 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2

Essa é a primeira derivada! Vamos calcular a segunda agora!

Passo 6

Precisaremos derivar novamente a expressão que obtivemos

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = d d x [ 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ]

primeiro, vamos expandir a derivada usando a regra do produto, temos que

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

usando que g ( x ) = 3 x e h ( x ) = ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 , temos que

d d x [ 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ] = d d x [ 3 x ] ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 + 3 x d d x [ ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ]

Rapidamente, pela regra do tombo podemos dizer que

d d x [ 3 x ] = 3 ( 1 ) x 1 - 1 = 3

A outra derivada vai ser um pouco mais trabalhosa no entanto! Vamos seguir com ela no próximo passo!

Passo 7

Precisamos usar a regra da cadeia novamente, desta vez com g ( h ) = h - 1 / 2 e h ( x ) = 3 x 2 + 1 , obtendo

d d x [ ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ] = d d h [ h - 1 / 2 ] d d x [ 3 x 2 + 1 ] = ( - 1 2 h - 1 / 2 - 1 ) ( 3 ( 2 ) x 2 - 1 + 0 )

ou simplesmente

d d x [ ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 ] = - 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 3 / 2

e, sendo assim, a derivada de segunda ordem de nossa função é dada por

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = ( 3 ) ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 + 3 x ( - 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 3 / 2 ) = 3 ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 - 9 x 2 ( 3 x 2 + 1 ) - 3 / 2

Evidenciando ( 3 x 2 + 1 ) - 3 / 2 = 1 / ( 3 x 2 + 1 ) 3 / 2 , temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 3 ( 3 x 2 + 1 ) 3 / 2 [ 3 x 2 + 1 - 3 x 2 ] = 3 ( 3 x 2 + 1 ) 3 / 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ) d d x [ f ( x ) ] = 3 x 2 + x 4 ( 1 + x 2 ) 2 e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = ( 6 x + 4 x 3 ) ( 1 + x 2 ) 2 - [ 3 x 2 + x 4 ] ( 4 x + 4 x 3 ) ( 1 + x 2 ) 4

h ) d d x [ f ( x ) ] = 3 x ( 3 x 2 + 1 ) - 1 / 2 e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 3 ( 3 x 2 + 1 ) 3 / 2

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