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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 1

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

1) f x , y , z = x y 2 e - x z

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos apenas que calcular as derivadas parciais de f .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para calcular as derivadas parciais de uma função, derivamos normalmente considerando as variáveis adjacentes como constantes.

Ou seja, para derivar f com relação a x , consideramos y e z como constantes e assim sucessivamente.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função a ser derivada é dada por

f x , y , z = x y 2 e - x z

Vamos começar derivando com relação a x ...

∂ f ∂ x = ∂ x y 2 e - x z ∂ x

Considerando y e z constantes, vemos que f se trata de um produto de duas funções de x então para calcular essa derivada temos que aplicar a regra do produto...

∂ f ∂ x = y 2 ∂ x ∂ x · e - x z + x · ∂ e - x z ∂ x

Na derivada de e - x z temos que aplicar a regra da cadeia já que temos uma função composta...

∂ f ∂ x = y 2 ∂ x ∂ x · e - x z + x · ∂ - x z ∂ x · ∂ e u ∂ u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ f ∂ x = y 2 1 · e - x z + x · - z · e u

∂ f ∂ x = y 2 e - x z - x z e u

Voltando u para - x z

∂ f ∂ x = y 2 e - x z - x z e - x z

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos derivar f com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ x y 2 e - x z ∂ y

Como x e z são consideradas constantes agora, então

∂ f ∂ y = x e - x z ∂ y 2 ∂ y

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ f ∂ y = x e - x z 2 y

∂ f ∂ y = 2 x y e - x z

E por último, fazendo o mesmo para z ...

∂ f ∂ z = ∂ x y 2 e - x z ∂ z = x y 2 ∂ e - x z ∂ z

Para a derivada de e - x z temos que aplicar a regra da cadeia

∂ f ∂ z = x y 2 ∂ - x z ∂ z ∂ e u ∂ u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo...

∂ f ∂ z = x y 2 - x e u

∂ f ∂ z = - x 2 y 2 e u

Voltando u para - x z ...

∂ f ∂ z = - x 2 y 2 e - x z

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∂ f ∂ x = y 2 e - x z - x z e - x z

∂ f ∂ y = 2 x y e - x z

∂ f ∂ z = - x 2 y 2 e - x z

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