b) Determine a função derivada F(x) = x * sec^(-1)(x^3)

f(x) = x / (sen(x) + cos(x))

Passo 1

Antes de começarmos, vamos dar uma boa olhada na função que vamos derivar:

f x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Opa, não é que tem uma função sendo dividida por outra? Se chamarmos

g x = x

h x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

Podemos olhar f x como:

f x = g x h x

E pra derivar um quociente de função usamos ninguém mais e ninguém menos que a regra do quociente, que fica:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h 2 x

Passo 2

Calculando as derivadas de g x e h x

Vamos na ordem, a primeira função que queremos derivar é g x , que é só um x sozinho. Usando a regra:

x a ' = a x a - 1

Ficamos com:

g ' x = 1

Agora pra h x , temos:

h x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

Como temos a soma de seno com cosseno, podemos derivar cada uma separadamente, e ficamos com:

h ' x = sin ⁡ x ' + cos ⁡ x '

h ' x = cos ⁡ x - sin ⁡ x

E a derivada de f x fica então:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h 2 x

f ' x = sin ⁡ x + cos ⁡ x - x cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x 2

O que simplifica para:

f ' x = sin ⁡ x + cos ⁡ x - x cos ⁡ x + x sin ⁡ x sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

f ' x = 1 - x cos ⁡ x + 1 + x sin ⁡ x 1 + sin ⁡ 2 x

Resposta

f ' x = 1 - x cos ⁡ x + 1 + x sin ⁡ x 1 + sin ⁡ 2 x

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Se h(2) = 4 e h'² = -3 , encontre d / dx { h(x) / x } | x = 2
Se f(x) = e^x * g(x) , onde g(0) = 2 e g'(0) = 5 , encontre f'(0) .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções.y = x * g(x) y = x / g(x) y = g(x) / x
62. a) Se F(x) = f(x) * g(x) , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F'' = f''g + 2f'g' + fg'' b) Encontre fórmulas análogas para F'''(x) e F^4 .c) Conjecture uma fórmula para F^n.
Derive a função:R(t) = (t + e^t)(3 - raiz(t))