USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.25
Dizemos que é uma raiz dupla de uma função polinomial f se , para alguma outra função polinomial .
a. Mostre que é raiz dupla de f se e somente se é raiz tanto de f quanto de f ′.
b. Quando tem raiz dupla? Interprete geometricamente.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que, considerando que é uma raiz dupla de uma função polinomial f se , para alguma outra função polinomial , vamos precisar mostrar e verificar os itens:
a. Mostre que é raiz dupla de f se e somente se é raiz tanto de f quanto de f ′.
b. Quando tem raiz dupla? Interprete geometricamente.
Para isso, vamos derivar essa função f no item a, e vamos fatorar a no item b. Então vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos resolver o item a. Para isso vamos derivar f, usando a regra do produto:
temos que em :
e
então, é a raiz da função e da sua derivada.
Passo 3
Agora,vamos fatorar a função para resolver o item b. Para fatorar temos que encontrar as raízes da função, calculando a bhaskara:
temos que a função terá raiz dupla se o delta for igual a zero, para isso acontecer, temos que
Temos que quando delta é igual a zero o ponto de máximo ou mínimo dessa parábola toca o eixo x, por isso a raiz é dupla, pois ela também é o ponto de máximo ou mínimo, sendo também a derivada da função igual a zero.
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A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
No decorrer da questão.