Encontre d y d x diferenciando implicitamente.

x 2 y + x y 2 = 3 x

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Vamos aplicar a derivação d d x em cada um dos termos.

d d x x 2 y + d d x x y 2 = d d x ( 3 x )

Toda vez que a gente tiver um produto ou divisão de variáveis, vamos precisar usar a regra do produto f . g ' = f ' . g + f . g ' ou regra do quociente f g ' = f ' . g - f . g ' g 2 . Lembrando que se f = y x → f ' = d y d x

Passo 2

Vamos lá!!!

d d x x 2 y = R E G R A   D O   P R O D U T O

d d x x 2 y = d x 2 d x y + x 2 d y d x = 2 x y + x 2 d y d x

Passo 3

Vamos para o segundo termo:

d d x x y 2 = R E G R A   D O   P R O D U T O

d d x x y 2 = d x d x y 2 + x   2 y d y d x

Por sua vez, o termo do lado direito da igualdade depende apenas de x , então é aplicar uma derivada implícita, implica dizer que esse termo será igual a zero.

2 x y + x 2 d y d x + y 2 + x   2 y d y d x = 0

d y d x x 2 + 2 x y = - 2 x y - y 2 → d y d x = - 2 x y - y 2 x x + 2 y

Resposta

d y d x = - 2 x y - y 2 x x + 2 y

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