(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(n) f x = cos ⁡ x x 2 + 1 ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = cos ⁡ x x 2 + 1 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma fração entre duas funções, então primeiramente temos que aplicar a regra do quociente dada por

f x = g x h x → f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Tranquilo? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a função é dada por f x = cos ⁡ x x 2 + 1 , então g x = cos ⁡ x e h x = x 2 + 1 .

Aplicando a regra do quociente, temos

f ' x = d cos ⁡ x d x · x 2 + 1 - cos ⁡ x · d x 2 + 1 d x x 2 + 1 2

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = - sin ⁡ x · x 2 + 1 - cos ⁡ x · 2 x x 2 + 1 2

f ' x = - sin ⁡ x x 2 + 1 - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = - sin ⁡ x x 2 + 1 - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

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