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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 2q

(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(q) f x = sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

A primeira coisa que vemos na função é que se trata de uma função compostas, portanto, para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

No caso, vemos que h x é composta por uma fração de duas funções, então para calcular sua derivada, a princípio temos que aplicar a regra do quociente, dada por

h x = p x q x → h ' x = p ' x · q x - p x · q ' x q x 2

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x , então h x = x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra do quociente para a derivada de x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x ...

f ' x = d x 3 d x · sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 3 · d sin ⁡ x 3 sin ⁡ x d x sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ h x d h x

Mais uma vez aplicando a regra da cadeia na derivada de sin ⁡ x 3 sin ⁡ x ...

f ' x = d x 3 d x · sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 3 · d x 3 sin ⁡ x d x · d sin ⁡ r x d r x sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ h x d h x

E por último, aplicado a regra do quociente na derivada de x 3 sin ⁡ x

f ' x = d x 3 d x · sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 3 · d x 3 d x · sin ⁡ x - x 3 · d sin ⁡ x d x sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ r x d r x sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x e r x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x 3 d x · sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 3 · d x 3 d x · sin ⁡ x - x 3 · d sin ⁡ x d x sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ r d r sin ⁡ x 3 sin ⁡ x 2 · d sin ⁡ h d h

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 3 x 2 · sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 3 · 3 x 2 · sin ⁡ x - x 3 · cos ⁡ x sin ⁡ x 2 · cos ⁡ r sin 2 ⁡ x 3 sin ⁡ x · cos ⁡ h

f ' x = 3 x 2 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 5 cos ⁡ r 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x 3 sin ⁡ x cos ⁡ h

Voltando r para x 3 sin ⁡ x e h para x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x ...

f ' x = 3 x 2 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 5 cos ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x 3 sin ⁡ x cos ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = 3 x 2 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x 5 cos ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x - x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x 3 sin ⁡ x cos ⁡ x 3 sin ⁡ x 3 sin ⁡ x

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