UFPE – Cálculo 1 – 1º EE – 2022.1 – Questão 1b.
1)
b) Encontre , onde é dada implicitamente por
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
Bom, essa questão pede pra gente calcular a deriva de , mas ela dá uma função onde não está isolado do lado esquerdo, como normalmente acontece, e não conseguimos facilmente isolar.
Quando isso acontece, teremos que fazer a derivada de modo implícito. Isso significa que devemos fazer a derivada seguindo a ordem normal da função e pensando no como uma função de . Assim, quando ele aparecer e precisarmos da sua derivada, colocaremos no lugar. Ok?
Então esse é o plano. Vem que te mostro como fazer.
Passo 2
Para resolver essa derivada diferentona aí teremos que derivar dos dois lados da equação. Faremos assim
Vamos por etapas!
Perceba que do lado esquerdo da equação temos um produto entre duas funções, a função e a função . Sendo assim, precisaremos usar a regra do produto para fazer essa derivação.
Essa regra diz que, se
Usando a regra, ficamos com
Para a derivada de , temos que pensar que é uma regra da cadeia, já que é uma função de . Assim
Ajeitando um pouco mais, teremos
Show de bola. Já temos a primeira parte, vamos agora para o lado direito da equação.
Passo 3
No lado direito temos
Como é uma soma, podemos abrir as derivadas em
A derivada de é igual a zero, já que é uma constante. Já a derivada de deve ser feita usando uma combinação da regra da cadeia com a regra do produto. Assim
Onde para precisaremos da regra do produto. Assim, teremos
E ficamos com
E depois de fazer a derivada dos dois lados, nos resta juntar e organizar esses resultados.
Passo 4
A derivada que estávamos procurando era:
Vimos que
E
Então:
Podemos deixar os termos que tem isolados do lado direito
Colocando em evidência
E isolando , teremos finalmente nosso resultado
E prontinho! Encontramos nossa resposta!