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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 3.9c

Explicite as derivadas de

c )   f x = sec ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = sec ⁡ x

E pediu para calcularmos sua derivada

e agora, você lembra das regras de derivação?

Temos três regras principais, pra isso precisamos verificar se temos um produto de funções, um quociente de funções ou se nossa função é composta:

  • Produto de funções: a b ' = a ' b - b ' a
  • Quociente de funções: a b ' = a ' b - b ' a b 2
  • Função composta: a b ' = a ' b .   b '

belezinha?

Agora é só olhar pra nossa função com mais carinho e #partiu derivada! Lembrando sempre da tabela de derivada das funções! Show!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

f x = sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x  

Temos uma razão de funções: constante em cima e cosseno embaixo! Então precisamos aplicar quociente

a = 1

a ' = 0

b = cos ⁡ x

b ' = - sin ⁡ x

b 2 = cos 2 ⁡ x

Agora aplicando na regra do quociente

f ' x = 0 . cos ⁡ x - - sin ⁡ x . 1 cos  2 ⁡ x = sin ⁡ x cos  2 ⁡ x

Lembrando que cos 2 ⁡ x = cos ⁡ x . cos ⁡ x e que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , podemos só organizar um pouquinho

f ' x = sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x

E está aí a derivada da secante que encontramos nas tabelas!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x

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