UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 5.
5 - De uma folha de alumínio com de largura, deseja-se construir uma calha, dobrando-se os lados da folha para cima e formando duas abas de mesmo tamanho, de modo que estas abas façam o mesmo ângulo com a horizontal. Qual a largura das abas e que ângulo elas devem fazer com a horizontal para que a capacidade da calha seja máxima?
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Imagine que temos que fazer uma calha pra sua casa, mas nosso(a) irmão/irmã cortou a folha de alumínio mais estreita do que tínhamos pensado. Pra solucionar esse problema, temos que escolher de forma mais precisa os pontos que vamos dobrar a folha pra fazer nossa calha.
E aí! Como vamos fazer isso?? 🤔🤔
Fazendo um corte perpendicular a calha, vamos ter algo tipo assim
Essa figura parece com o que? Um trapézio, não é?
E qual a área do trapézio?
Pela figura, podemos concluir que
Correto? Com essas informações, vamos concluir nosso problema!
Passo 2
Antes de iniciar, temos que definir o que é
Pela figura, conseguimos definir que , sendo que podemos escrever e também podemos ver que é igual a .
E , a altura do trapézio é dado pelo , logo
Substituindo essa informação em , temos
Simplificando nossa equação, temos
Para achar a distância que maximiza a função, vamos derivar e igualar a , assim como fazíamos pra obter os pontos críticos de uma função, lembra?
Observe que vamos obter essa derivada aplicando a regra do produto, já que , onde e .
Com isso, a regra do produto nos diz que
Ou seja, a derivada de , é dada por
Como só aparece em primeira ordem, usando o método de derivação por polinômios. Multiplicando a variável pela potência e subtraindo do expoente.
Substituindo em
Simplificando o resultado, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Igualando nossa derivada a , temos
Logo (o que podemos descartar) ou
Isolando em um lado da equação, temos
Simplificando o resultado, temos
Obtemos que depende do ângulo , então temos que calcular o melhor ângulo possível.
Substituindo em , temos que
Simplificando nosso resultado, temos
Agora vamos derivar em função de
Nesse caso, temos um quociente de duas funções, então vamos aplicar a regra do quociente para derivar .
Essa regra nos diz que se temos , então
Então, temos
Passo 4
Sabemos pelo teorema fundamental do cálculo que a derivada do e , logo
Igualando a , obtemos
Para essa equação ser satisfeita, o numerador deve ser , então
Simplificando a equação, vamos ter
Sabemos que
Calculando o de , resultamos em
Encontramos nosso ângulo!!
Passo 5
Substituindo esse valor em , temos
, então
Com isso, obtemos os valores de e !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
