UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 2
O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mole é:
em que s é medida em centímetros e t em segundos.
Encontre a velocidade após t segundos.
Passo 1
E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?
Primeiro vamos lembrar do entendimento físico do que é velocidade: variação da posição/deslocamento em relação ao tempo.
No nosso caso, o deslocamento foi dado pela equação , então, para calcular a velocidade precisamos fazer .
Passo 2
Fazendo essa derivação, temos:
Como temos duas funções multiplicando uma com a outra, precisamos aplicar a regra do produto aqui, certo? E o que essa regra nos diz é que:
Então, uma das primeiras coisas que precisamos fazer é identificar quem será nossa e quem será nossa . Vamos então escolher e
Passo 3
Agora vamos encontrar as derivadas dessas funções!!!
Sabe-se que a derivada de é igual a . Em outras palavras, a derivada da função exponencial é basicamente pegar o expoente, derivar, e depois multiplicar pela função original.
No nosso caso, o nosso expoente é , então se derivarmos esse cara em função de t, teremos , certo?
Ao final, nossa derivada de vai ser
Derivando , temos:
Substituindo na definição da regra do produto, vamos ter que:
Portanto, essa é a velocidade: