UFSC – Cálculo 1 – Listas de Derivadas – Lista 2.6 – Regras de Derivação
C5. Uma das regras de derivação é a regra do produto, que diz que
- Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para derivada do produto de três funções.
- Estenda seu raciocínio para encontrar uma fórmula para a derivada do produto de funções.
- Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de .
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Nesse problema a gente vai ter que estender a regra do produto
Para quando temos um produto de várias funções. A ideia é a gente calcular a derivada para um produto de três funções e ver se tem algum padrão. Esse padrão a gente usa para calcular a derivada de um produto de várias funções. Beleza?? Então partiu!
Passo 2
(a) Vamos começar supondo que temos um produto de três funções e queremos calcular a derivada disso:
A gente pode pensar que temos duas funções. Uma delas é o produto e a outra é a função . Dessa maneira a gente pode usar a regra do produto como conhecemos:
Só que olha só, aquela primeira derivada que surgiu no lado direito da equação a gente conhece pela regra do produto que já nos foi dado:
Então temos
Distribuindo aquele produto que apareceu:
Passo 3
(b) Agora que a gente tem a regra do produto para três funções:
A gente consegue perceber que aparece um padrão. Se temos três funções a gente deriva a primeira e multiplica pelas outras duas. Depois a gente soma com a derivada da segunda multiplicada pela primeira e pela terceira função. E por fim a gente soma com a derivada da última função multiplicada pela primeira e pela segunda função.Dessa forma, para um produto de várias funções , a gente tem a regra:
Passo 4
( c) Para calcular a derivada da função nós vamos usar a fórmula que a gente obteve no passo anterior que para quatro funções é:
Dessa forma temos:
Usando as derivadas das funções temos:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??