UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 13
Seja , diferenciável; e
Calcule , onde
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?
“Seja , diferenciável”
Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função ! E que ela pertence ao mundo dos reais!
“ e ”
Aqui ele nos dá duas informações! Uma sobre a função e outra sobre a derivada!
“Calcule ,”
Queremos calcular a derivada de uma outra função, a ! E ainda por cima em zero! Mas quem será essa ? Vamos ao final do problema:
“onde ”
Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um ali dentro de , temos uma outra função! Aquela tangente! E ainda por cima, dentro da tangente temos uma razão de polinômios!
Sendo assim, queremos a derivada da e que para isso precisamos derivar também a !
E ainda aplicada em um ponto muito específico, ! E eu chamei de argumento mesmo, pois dentro da temos uma função, um argumento, e não simplesmente !
Na verdade, o ponto que temos é quando . Que vai representar também, mas poderia não ser!
Ah rá! Agora chegamos ao que o problema queria: a derivada de em um ponto . Mas o que será que esse ponto representa na ? Zero também!
O ponto para a é onde na ! Então calcular a derivada de vai envolver a derivada de , e aplicar essa derivada em na é o mesmo que aplicar zero em !
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Precisamos derivar essa coisa:
Mas qual técnica usar? Regra do produto, pois temos um cosseno multiplicando a função . Beleza?
E não é só isso! Vamos usar também a regra da cadeia, já que a função está ao quadrado (potência: função mais externa) e dentro dela tem outra função (a tangente e ainda dentro da tangente uma razão de polinômios)
Beleza?
então #partiu derivar!
Tranquilo até aqui?
Beleza? Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Estamos quase lá! Agora nossa missão é aplicar no ponto dado! Queremos a derivada de em , e sabemos que , então:
E simplificando temos:
Viu como naturalmente surgiu um ? Só colocando ! Agora vamos calcular essas coisas!
Agora vamos relembrar das informações dadas sobre a derivada e a própria função em zero:
Agora é só substituir!
E é isso! Então nosso resultado é:
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!
Até próxima!