Suponha que f(2) = 2, f'(2) = 3, g(2) = 5, g'(2) = -1. Encontre os seguintes valores:

(g / (x * e^x))' (2)

Passo 1

E aí, galerinha! Primeira coisa é entender o que significa essa notação que deram pra gente no enunciado. g x e x ' ( 2 ) nada mais é do que avaliar a derivada do que está dentro dos parênteses quando o valor de x , por exemplo, for igual a 2. É por isso que o enunciado deu pra gente uma cacetada de valores pra f , f ' , g   e   g ' quando temos x = 2 .

Então a lógica da questão é: derivada bonitinho o que está dentro dos parênteses e depois vê qual valor (de acordo com enunciado) que cada derivada ou função vai ter.

Passo 2

Vem comigo que agora tudo vai clarear! Vamos derivarrrr!!

g x e x ' 2 = g ' 2 x e x - d d x x e x g 2 x e x 2

Vamos fazer a derivada ali no numerador bem devagar pra gente não se perder, beleza?

d d x x e x = d d x x e x + x d d x e x = e x + x e x

d d x x e x = e x ( 1 + x )

Agora vamos substituir

g x e x ' 2 = g ' 2 x e x - e x 1 + x g 2 x e x 2

De acordo com enunciado, temos que f ' 2 = 3 e g ' 2 = - 1 , f 2 = 2 e g 2 = 5 . E note que nesse problema ainda nos resta a variável x na nossa equação final, certo? Mas o enunciado está sempre pedindo pra gente avaliar os valores das funções quando x = 2 . Então basicamente é o seguinte: onde restou x, vamos substituir por 2.

g x e x ' 2 = - 1 2 e 2 - e 2 3 5 2 2 e 2 × 2 = - 2 e 2 - 15 e 2 4 e 4

g x e x ' 2 = - 2 e 2 - 15 e 2 4 e 4 = - e 2 2 e 4 - 15 e 2 4 e 4

g x e x ' 2 = - 1 2 e 2 - 4 - 15 4 e 2 - 4

g x e x ' 2 = - 1 2 e - 2 1 - 15 2 = - 1 2 e - 2 - 13 2

g x e x ' 2 = 13 4 e - 2 = 13 4 e 2

Resposta

g x e x ' 2 = 13 4 e 2

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