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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

  1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.

c. f x = s e n x ( x + 4 ) c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do produto e do quociente de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x ∙ g ( x ) , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x

E pela regra da derivada do quociente, se nós temos z x = f x g x , então

z ' x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x f 2 ( x )

onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) , nas duas situações.

Passo 2

Vamos agora observar a função que nós temos.

f x = s e n x ( x + 4 ) c o s ⁡ ( x )

Aqui podemos usar inicialmente a propriedade da derivada do quociente. Logo,

f ' x = s e n x x + 4 ' ∙ cos ⁡ x - s e n x x + 4 ∙ ( - s e n x ) cos 2 ⁡ ( x )

Passo 3

Agora, podemos escrever a derivada da função s e n x x + 4 , pela regra da derivada do produto. Logo,

s e n x x + 4 ' = s e n x ' ∙ x + 4 + s e n x ∙ 1 2 x = cos ⁡ x ∙ x + 4 + s e n x ∙ 1 2 x

E a derivada da função f, fica

f ' x = cos ⁡ x ∙ x + 4 + s e n x ∙ 1 2 x ∙ cos ⁡ x + s e n 2 x x + 4 cos 2 ⁡ x

Passo 4

Agora, faremos manipulações algébricas para poder simplificar o resultado da nossa derivada encontrada no passo anterior. Assim,

cos ⁡ x ∙ x + 4 + s e n x ∙ 1 2 x ∙ cos ⁡ x + s e n 2 x x + 4 cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x ∙ x + 4 + s e n x ∙ cos ⁡ x 2 x + s e n 2 x x + 4 cos 2 ⁡ x = x + 4 ∙ cos 2 ⁡ x + s e n 2 x + s e n x ∙ cos ⁡ x 2 x cos 2 ⁡ x = x + 4 cos 2 ⁡ x + s e n ( x ) cos ⁡ x ∙ 2 x = x + 4 cos 2 ⁡ x + t g ( x ) 2 x

E essa é a forma mais simples que conseguimos deixar nossa derivada.

É isso pessoal, até a próximaa, espero que tenham aprendido!!!

Resposta

c. f ' x = x + 4 cos 2 ⁡ x + t g ( x ) 2 x

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