UnB, Cálculo I, Lista 6, questão 2a
Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções
abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a)
Passo 1
Faaaaala, galeeeera! Como estão?
Nesse exercício precisamos fazer 2 coisas. Primeiro precisamos derivar a função. E depois, precisamos encontrar as assíntotas verticais.
Mas repara que o exercício já dá uma dica, que é pra gente usar o exercício anterior e a regra do quociente. Então vamos relembrar!
Para resolver essa questão vamos derivar as funções trigonométricas utilizando o limite fundamental.
Vamos utilizar as seguintes relações trigonométricas ao longo da questão, então lembre-se delas:
Passo 2
Primeiramente, vamos calcular a derivada da , utilizando o limite fundamental.
Agora vamos aplicar a equação de , que diz que :
Pela relação e , podemos reescrever o limite como:
Passo 3
Vamos tirar usar o múltiplo comum das frações do numerador
Não se assuste com o tamanho do limite, vamos simplificá-lo, beleza? Aqui vamos multiplicar tudo
Passo 4
Podemos simplificar as expressões com sinaisl contrários e obtemos
Aqui, observe que
Logo, temos
Ufa! Achamos a derivada! Agora vamos pras assíntotas verticais.
Passo 5
Para calcular a assíntota vertical, devemos calcular os limites laterais no ponto em que a função possui indeterminação
Note que o cosseno não pode ser zero, pois está no denominador
O ponto em que o cosseno zera é
Então pela direita
Pela esquerda
Temos uma assíntota vertical num ponto, quando pelo menos um dos limites laterais nesse ponto tende a ou
Como e , é uma assíntota
Prontinhoooo! Finalizamos!
Resposta
é uma assíntota