Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

Ver Teoria
Exercício 156123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UnB, Cálculo I, Lista 6, questão 2b

Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções

abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.

(b) sec ⁡ ( x ) = 1 cos ⁡ ( x )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Como estão?

Para resolver essa questão vamos derivar as funções trigonométricas utilizando o limite fundamental.

Vamos utilizar as seguintes relações trigonométricas ao longo da questão, então lembre-se delas:

cos ⁡ ( a ) - cos ⁡ b = - 2 sin ⁡ a + b 2 sin ⁡ a - b 2           ( I )

sec ⁡ ( x ) = 1 cos ⁡ ( x )                         ( I I )

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ ( h ) h = 1         ( I I I )

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada da tan ⁡ ( x ) , utilizando o limite fundamental.

tan ' ⁡ ( x ) = lim h → 0 ⁡ f h - f ( x ) h = lim h → 0 ⁡ sec ⁡ ( h + x ) - sec ⁡ ( x ) h

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ ( h + x ) - sec ⁡ ( x ) h = lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ ( h + x ) - 1 cos ⁡ ( x ) h

Passo 3

Vamos tirar usar o múltiplo comum das frações

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ ( h + x ) ( cos ⁡ ( h + x ) ) ( cos ⁡ x ) h

Vamos agora aplicar a relação ( I ) e fazer as manipulações necessárias

lim h → 0 ⁡ - 2 sin ⁡ 2 x + h 2 sin ⁡ - h 2 cos ⁡ h + x cos ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 2 x + h 2 sin ⁡ h 2 cos ⁡ h + x cos ⁡ x h / 2

Passo 4

Podemos dividir em dois limites

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 2 x + h 2 cos ⁡ h + x cos ⁡ x ∙ lim h → 0 ⁡ sin ⁡ h 2 h / 2

Utilizando o limite fundamental ( I I I ) :

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 2 x + h 2 cos ⁡ h + x cos ⁡ x ∙ 1 = sin ⁡ 2 x 2 cos ⁡ h cos ⁡ x = sin ⁡ x cos 2 ⁡ h

Logo

sin ⁡ x cos 2 ⁡ h = sin ⁡ x cos ⁡ ( x ) ∙ 1 cos ⁡ x = tan ⁡ x sec ⁡ ( x )

Passo 5

Para calcular a assíntota vertical, devemos calcular os limites laterais nos pontos candidatos a assíntotas. São eles - π 2 e 3 π 2

Então pela direita

lim h → - π / 2 + ⁡ sec ⁡ ( x )   = ∞

lim h → 3 π / 2 + ⁡ sec ⁡ ( x )   = ∞

Pela esquerda

lim h → - π / 2 + ⁡ sec ⁡ ( x )   = - ∞

lim h → 3 π / 2 + ⁡ sec ⁡ ( x )   = - ∞

Como l i m h → - π / 2 + = l i m h → 3 π / 2 + = ∞ e l i m h → - π / 2 + = l i m h → 3 π / 2 + = - ∞ , - π / 2 e 3 π 2 são assíntotas verticais.

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

sec ⁡ ( x ) ' = tan ⁡ x sec ⁡ ( x )

- π / 2 e 3 π 2 são assíntotas verticais

Exercícios de Livros Relacionados

Se h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , encontre d d x h x x | x = 2
Se f x = e x g x , onde g 0 = 2 e g ' 0 = 5 , encontre f ' 0 .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções. y = x g ( x ) y = x g x y = g x x
62. a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' . b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .c) Conjecture uma fórmula pa
Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )