Considere a função f : [-1,1] → R dada por

f(x) = sen( (pi / 2) * x ) / (x + 2)

(a) Mostre que existe x ∈ (-1, 1) tal que f(x) = 0 . (Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário).

Passo 1

-

Pelo TVI, temos que se uma função muda de sinal num determinado intervalo e é contínua nesse intervalo é garantido que essa função tem pelo menos uma raiz no intervalo. Vamos usar então f - 1 e f ( 1 ) e comparar seus sinais:

f - 1 = sen ⁡ π 2 x x + 2 = sen ⁡ - π 2 - 1 + 2

= - 1 1 = - 1

f 1 = sen ⁡ π 2 x x + 2 = sen ⁡ π 2 1 + 2

= 1 3

Realmente f ( x ) muda de sinal no intervalo ( - 1,1 ) , o que somado ao fato de ser uma função contínua nesse intervalo garante que há uma raiz.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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