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Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Q05) Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação

sin ⁡ x = 4 - 2 x

Tem uma solução no intervalo 0 , π 2 . Relembre que π ≅ 3,14

Passo 1

Já que a questão já da a dica pra gente que é pra usar o TVI, vamos dar uma lembrada nela. Seja f uma função contínua que passa pelos dois pontos azuis abaixo:

Pelo TVI, é impossível ligar os dois pontos sem passar o eixo x . Ou seja, o TVI prova que existe pelo menos uma raiz pra essa função contínua. Mas como que isso se aplica aqui. Veja bem:

sin ⁡ x = 4 - 2 x

A função sin ⁡ x é contínua, certo? Assim como o polinômio 4 - 2 x . E se eu estabelecesse uma função tal que:

sin ⁡ x = 4 - 2 x

sin ⁡ x - 4 + 2 x = 0

f x = 0

Opa, gerei uma função f x = sin ⁡ x - 4 + 2 x e disse que ela é igual a 0 então! Pra responder a questão basta então provar que essa minha função contínua gerada tem pelo menos uma raiz no intervalo 0 , π 2 . Pra provar isso, uma boa primeira estratégia é substituir x pelos valores extremos do intervalo:

f 0 = sin ⁡ 0 - 4 + 2 ∙ 0 = 0 - 4 + 0 = - 4 < 0

f π 2 = sin ⁡ π 2 - 4 + 2 ∙ π 2 = 1 - 4 + π ≅ 0,14 > 0

E olha só! Um deu negativo e outro positivo! Ta provado então. De uma forma mais bonitinha, podemos dizer:

Seja f x = sin ⁡ x - 4 + 2 x uma função contínua, com f 0 < 0 e f π 2 > 0 , então existe pelo menos um c ∈ 0 , π 2 tal que f c = 0 e logo sin ⁡ c = 4 - 2 c

Resposta

Seja f x = sin ⁡ x - 4 + 2 x uma função contínua, com f 0 < 0 e f π 2 > 0 , então existe pelo menos um c ∈ 0 , π 2 tal que f c = 0 e logo sin ⁡ c = 4 - 2 c

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