UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – Listas Cálculo 1 UAmat – Lista 1: Limite e Continuidade – Questão 22.
22- Seja e . Mostre que existe tal que .
Passo 1
Fala aí pessoal. Tudo certinho por aí???
Bora entender essa questão. Ela está dando duas funções pra gente: e , e dizendo eu no intervalo existe um que onde , e pediu pra gente provar que isso é verdade.
O que queremos é que essa equação
Tenha uma solução no intervalo .
Então, a ideia aqui é transformar a equação em uma função do tipo:
Vamos analisar nos extremos do intervalo para ver o sinal que ela possui. Assim se em um extremo ela for positiva e no outro negativa, significa que a função cortou o eixo , e a equação tem uma raiz nesse intervalo. Essa é a ideia o Teorema do Valor Intermediário.
Então bora encarar mais essa questão junto comigo?
Passo 2
Fazendo
Ou seja, a função é negativa nesse extremo.
Agora, fazendo
Ou seja, a função é positiva nesse extremo. O que nos garante que ela cortou o eixo .
Assim, concluímos que existe tal que .
Resposta
Resolução nos passos acima