USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17b
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(b) , para todos , com e .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
Como , então
Se fizermos , temos que .
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo , aplicamos no TVM como
Então se e , também tem que ser para se encaixar no intervalo do TVM.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
