7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(b) |raiz(a) - raiz(b)| ≤ 1 / 2 |b - a| , para todos a, b ∈ R , com a >= 1 e b >= 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que provar que a inequação a - b ≤ 1 2 b - a é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por a - b ≤ 1 2 b - a , então se passarmos o termo b - a dividindo, temos

a - b b - a ≤ 1 2

Como a b = a b , então

a - b b - a ≤ 1 2

- 1 2 ≤ a - b b - a ≤ 1 2

Se fizermos b = x , temos que f x = - x .

Pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = d - x d x = d - x 1 2 d x = - 1 2 x

Substituindo x = c , aplicamos no TVM como

f ' c = - 1 2 c = a - b b - a

- 1 2 ≤ - 1 2 c ≤ 1 2

1 2 c ≤ 1 2

Então se a ≥ 1 e b ≥ 1 , c também tem que ser ≥ 1 para se encaixar no intervalo do TVM.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

1 2 c ≤ 1 2 ,     c ≥ 1

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