Seja f : R → R uma função tal que f x ≤ 2 | x | para todo x ∈ R . Calcule lim x → 0 ⁡ f x 3 x .

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo bem por aí?

Nessa questão queremos calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ f x 3 x

Mas, não conhecemos a expressão de f ( x ) . Sabemos apenas que:

| f x | ≤ 2 x

E, aí? Como podemos usar essa igualdade pra matar o nosso limite?

Então pessoal, a ideia principal é usarmos o nosso teorema do sanduíche!

Se sabemos que uma função f está sempre limitada entre duas outras:

g ≤ f ≤ h

Então, também podemos afirmar que:

lim x → a ⁡ g ≤ lim x → a ⁡ f ≤ lim x → a ⁡ h  

Tranquilo? Então vamo nessa!

Passo 2

Temos que:

f x ≤ 2 | x |

Como na nossa expressão do limite temos x 3 , podemos escrever que:

f x 3 ≤ 2 x 3

Vamos agora tirar o módulo da jogada, temos:

- 2 x 3 ≤ f x 3 ≤ 2 x 3

Agora podemos dividir por x em todas as partes da desigualdade. Ficamos com:

2 x 3 ≤ f x 3 x ≤ 2 x 2

(Mesmo que x seja negativo, não tem muito problema em fazermos essa divisão. Pois inverteríamos ambos os lados da desigualdade, e teríamos a mesma relação).

Daí agora podemos aplicar o limite:

lim x → 0 ⁡ - 2 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x 3 x ≤ lim x → 0 ⁡ 2 x 2

Excelente! O que estamos fazendo é aplicar justamente o nosso teorema do sanduíche. Conseguiram perceber?

Assim, como:

lim x → 0 ⁡ - 2 x 2 = 0

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 = 0

Temos que:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x 3 x ≤ 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ f x 3 x = 0

E é isso galerinha, matamos a questão!

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

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