USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.11
Seja uma função tal que para todo . Calcule
Passo 1
Faaaaala pessoal, tudo bem por aí?
Nessa questão queremos calcular o seguinte limite:
Mas, não conhecemos a expressão de . Sabemos apenas que:
E, aí? Como podemos usar essa igualdade pra matar o nosso limite?
Então pessoal, a ideia principal é usarmos o nosso teorema do sanduíche!
Se sabemos que uma função está sempre limitada entre duas outras:
Então, também podemos afirmar que:
Tranquilo? Então vamo nessa!
Passo 2
Temos que:
Como na nossa expressão do limite temos , podemos escrever que:
Vamos agora tirar o módulo da jogada, temos:
Agora podemos dividir por em todas as partes da desigualdade. Ficamos com:
(Mesmo que seja negativo, não tem muito problema em fazermos essa divisão. Pois inverteríamos ambos os lados da desigualdade, e teríamos a mesma relação).
Daí agora podemos aplicar o limite:
Excelente! O que estamos fazendo é aplicar justamente o nosso teorema do sanduíche. Conseguiram perceber?
Assim, como:
Temos que:
Portanto:
E é isso galerinha, matamos a questão!
Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊