USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17f
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(f) , para todos com .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
𝑥−𝑒𝑦𝑥−𝑦
Comparando com a equação do passo 1, vemos que
E, portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é dada por
Substituindo por
Assim, pelo TVM...
E substituindo na inequação...
E como , deve ser maior que para estar entre e .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
