7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(f) e x - e y ≥ x - y , para todos x , y com x ≥ y ≥ 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que provar que a inequação e x - e y ≥ x - y é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por e x - e y ≥ x - y , então se passarmos o termo x - y dividindo, temos

e 𝑥−𝑒𝑦𝑥−𝑦 e x - e y x - y ≥ 1

Comparando com a equação do passo 1, vemos que f x = e x

E, portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de f x é dada por

f ' x = d e x d x = e x

Substituindo x por c

f ' c = e c

Assim, pelo TVM...

f ' c = e x - e y x - y

e c = e x - e y x - y

E substituindo na inequação...

e c ≥ 1

E como x ≥ y ≥ 0 , c deve ser maior que 0 para estar entre x e y .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

e c ≥ 1 , c ≥ 0

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