Mostre que os gráficos de e têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo
Passo 1
Queremos procurar se existem pontos onde as funções se interceptam. Ora, quando funções se interceptam, elas tem o mesmo valor! Procuramos, então, o seguinte:
Chamando uma função auxiliar teríamos:
Procuramos as raízes de
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), vamos substituir e em :
Não sei se você vai lembrar, mas a tangente não está definida nem em , nem em . Com isso, temos que escolher outros pontos aí dentro desse intervalo para substituir para analisar.
Passo 3
Por praticidade, vou substituir pelos valores dos quais conheço as tangentes. Mas eu poderia escolher outros, desde que estivessem contidos no intervalo entre e .
Vamos pegar , e :
Passo 4
De maneira geral, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto , desde que exista pontos menores que e maiores que e a função seja contínua no intervalo formado por eles.
Como escrevemos nossa assim,
Vamos tomar como nosso E repara que no nosso Passo 3, achamos valores maiores e menores que para um função contínua.
E como esses pontos estão contidos no intervalo , concluímos que há pelo menos uma raiz da função no intervalo .
Portanto, os gráficos de e têm interseção em pelo menos um ponto dentro do intervalo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)