UFCG – Cálculo 1 – AV1 – Questão 6
Usando o Teorema do Valor Intermediário, mostre que a equação
Possui uma raiz no intervalo
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema nos deu essa equação aqui
E pediu para usarmos o teorema do valor intermediário e mostrar que em um intervalo, essa equação possui uma raiz. Mas você lembra o que fala esse teorema?
O Teorema do Valor Intermediário nos diz o seguinte: supondo uma função contínua em um intervalo qualquer
E o limite dessa função nos extremos mudar de sinal, ou seja, passar de um valor positivo no começo do intervalo
E no fim do intervalo a função assumir um valor negativo
ou ao contrário, se passar de um valor negativo pra um positivo…
Isso quer dizer que nesse intervalo, em algum lugar, essa função possui uma raiz!!!
Lembra que uma raiz é um valor de que deixa a função igual a zero! Então se ela antes estava assumindo algum valor positivo, e depois assume um valor negativo, ela obrigatoriamente passou pelo zero, pois consideramos que a função é contínua!
E o comportamento inverso funciona também tá? De negativo para positivo, o valor da função precisa passar pelo zero também!
Então a ideia aqui é calcular o limite nos extremos do intervalo que o problema nos deu e verificar que a função troca de sinal! Se ela troca de sinal, esse teorema nos garante que temos uma raiz dentro do intervalo!
Mas fica tranquilo, vou fazer com você!
Passo 2
Vamos começar lembrando nossa função
Temos que encontrar uma raiz no intervalo , então precisamos avaliar o limite dessa função nos extremos e verificar se o valor do limite troca de sinal!
Começando por
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos calcular o limite no outro extremo do intervalo:
Opa opa opa! O limite da função passou de um valor negativo para um valor positivo , isso significa que nesse intervalo temos uma raiz
E isso é garantido pelo teorema apenas se a função é contínua! Nossa função
É um polinômio e sabemos que ele é contínuo em qualquer intervalo!
Beleza? Mostramos o que foi pedido! Vamos para a próxima?