Nos modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração da gravidade g na superfície da terra é constante igual a 9,8 m/s². Na verdade, g é função da latitude θ que, medida em graus, é dada pela seguinte fórmula:

g θ = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 θ + 0,000024 s e n 4 θ

Mostre que existe um θ 0 ∈ 35 ° ,   40 ° tal que g θ 0 = 9,8 .

Passo 1

E aí, galerinha! Nesse exercício queremos provar que é possível encontrar g ( θ 0 ) = 9,8 , pra algum valor θ = θ 0 . Então o que queremos é que:

g θ = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 θ + 0,000024 s e n 4 θ = 9,8

E agora queremos encontrar qual o valor de θ para que isso seja verdade, ou seja, queremos saber se que a equação dada possui pelo menos uma solução (raiz) em um dado intervalo.

Passo 2

Vamos então utilizar nosso teorema do valor intermediário e depois discutir como isso impacta na demonstração do que se pede.

O primeiro passo então é substituirmos os valores dos intervalos na nossa equação dada.

g 35 ° = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 35 ° + 0,000024 s e n 4 35 ° = 9,797

g 40 ° = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 40 ° + 0,000024 s e n 4 40 ° = 9,810

Note que encontramos dois valores são apresentados, e que g θ 0 = 9,8 está realmente entre esses dois valores. Logo, temos comprovado o pedido no enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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