UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – Listas Cálculo 1 UAmat – Lista 1: Limite e Continuidade – Questão 21.
21- Mostre que a função possui uma raiz no intervalo .
Passo 1
Fala aí!!! Bora resolver essa questão juntinhos?
Bom, a questão pede pra gente mostrar que a função dada por
Possui uma raiz no intervalo
Mas o que significa ter uma raiz dentro desse intervalo?
Cara, se liga só! Dizemos que função possui raízes quando ela corta o eixo , e isso acontece quando o valor da função é igual a zero. Ou seja, a função atravessa da parte negativa para a positiva, ou vice-versa.
Pensando nisso, vamos usar um teorema que ajuda bastante nesses casos, que é o Teorema do Valor Intermediário, fazendo com que o valor intermediário que a gente está procurando seja o valor assumido pela função quando é uma raiz, ou seja, fazendo .
Bora ver isso comigo!!!
Passo 2
O teorema do valor intermediário diz que
Se é contínua no intervalo fechado e é um valor que está entre e , então existe pelo menos um tal que .
Então devemos fazer , e o que vai ajudar a gente a determinar se há uma raiz no intervalo é calcular o valor de em seus extremos. Para que isso seja verdade, termos que ter a função em um extremo sendo positiva e em outro sendo negativa, assim vamos garantir que ela passou pelo ponto onde dentro desse intervalo. Sacou?!
Então bora calcular.
O intervalo é . E a função é:
Fazendo , ficamos com:
Show, nesse extremo ela é negativa. 😉
Agora fazendo , teremos:
E nesse extremo ela é positiva. 😉
Comprovado que há uma raiz nesse intervalo. É prontinho, questão resolvida.
Resposta
No desenvolvimento.