Mostre que a equação possui três soluções no intervalo
Passo 1
Essa é a cara de uma questão de Teorema do valor intermediário. Se descobrirmos que a função muda de sinal pelo menos vezes nesse intervalo, garantiremos que ela terá, no mínimo, raízes. Vou substituir o valor das pontas, em primeiro lugar, o e o . Para fazer isso, eu vou analisar a função , buscando suas raízes nas mudanças de sinal, o que me dará as soluções da equação inicial:
Já garantimos pelo menos uma mudança, ou seja, uma raiz. Isso bastaria se ele pedisse apenas uma solução no intervalo, como na maioria das questões. Mas o cara foi além, pediu . Agora, temos que pensar em outros pontos para chutar.
Passo 2
Vou fazer assim, tentar todos os inteiros de até . Não vai dar trabalho, relaxa:
Então olha aqui, mudou o sinal de para , de para , e de para . Não queríamos mudanças de sinal no intervalo ? Pronto, pelo Teorema do Valor Intermediário garantimos que existem pelo menos soluções para a equação do problema nesse intervalo.
No caso, trabalhamos com um polinômio do terceiro grau, que tem como máximo número de raízes . Prova-se, enfim, que a equação possui exatamente três soluções no intervalo.