USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.18
7.18. Seja uma função derivável no intervalo tal que e , para todo . Mostre que , para todos .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que provar que é verdadeira a partir de que dado em uma função derivável em .
Como vamos fazer isso? 🤔
Pra isso, podemos usar o teorema do valor médio!
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Vamos com calma... temos que fazer a inequação chegar em .
A partira do teorema, sabemos que a derivada de uma função em um ponto intermediário ao intervalo é dado por
Portanto, substituindo na inequação, temos
Foi dito que para qualquer valor de , essa solução é valida, então vamos definir um intervalo genérico onde e
No enunciado, também foi dito que , ou seja
Multiplicando todos os lados por , chegamos em
Legal né? 😁
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
