5. Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação

x^3 = cos(x)

Possui pelo menos uma solução real.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui o enunciado foi bem direto no que ele quer. E o que temos que fazer é encontrar x ∈ R que satisfaça x 3 = cos ⁡ x .

Isso é equivalente a encontrar uma raiz da função

f x = x 3 - cos ⁡ x

Note que a função f é contínua em R , pois é a diferença de duas funções contínuas em R .

Então bora aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para a nossa f .

Passo 2

Note que

f 0 = 0 3 - cos ⁡ 0 = - 1

E

f π 2 = π 2 3 - cos ⁡ π 2 = π 3 8

(Aqui você pode escolher outros números mas eles tem que permitir que você chegue na conclusão abaixo)

Uma que vez f é contínua em 0 , π 2 e f 0 < 0 < f π 2 , pelo TVI temos que existe c ∈ 0 , π 2 , onde c é uma constante qualquer, tal que f c = 0 . Pontanto, x 3 = cos ⁡ x possui pelo menos uma solução real.

Prontinho!

Resposta

No texto.

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