UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.6
Use o TVI para mostrar que a equação
possui pelo menos duas soluções. Estime estas soluções com casas decimais.
Passo 1
E aí gente, tudo numa boa com vocês?
Nessa questão recebemos uma equação dada por:
E, precisamos mostrar que elas possuem pelo menos duas soluções. Além disso, devemos estima-las com casas decimais.
Puts, mas é uma equação com função trigonométrica misturada com função polinomial. O que podemos fazer?
É só usar o TVI genteeee!! É o famoso teorema do valor intermediário, basicamente ele vai dizer que se uma função contínua troca de sinal em um dado intervalo, ela tem raiz nesse intervalo.
“Ué, mas nem temos função aqui, é apenas uma equação. E, como assim raiz?!”
Então galera, pra que nossa equação se encaixe bonitinho nesse teorema podemos fazer o seguinte:
Daí, chamando:
Queremos encontrar justamente a raiz de . Sacaram a ideia?
Então, vamos procurar intervalos onde temos troca de sinal pra aplicar o TVI.
Passo 2
Podemos começar com um intervalo de uma casa decimal: .
Se calcularmos , temos:
E:
Beleza! A função troou de sinal, então deve ter uma raiz por aí. Agora é um pouco de tentativa e erro galera. Se testarmos , temos:
Então, como em e a função não troca de sinal, nossa raiz deve estar entre e .
Podemos analisar
Olha aí, a função não muda de sinal entre e . Então, a raiz deve estar no intervalo .
Bora começar a aumentar as casas decimais pra estimar a solução, beleza?
Tomando temos:
Opa! Se olharmos o intervalo tem troca de sinal. Então a raiz deve estar por aí.
Tomando , temos:
Conseguimos restringir ainda mais a raiz!
Tomando , temos:
Vamos restringir mais!!
E, tomando:
Massa, a raiz deve estar entre e . Por fim, aumentando mais uma casa decimal, temos:
Testando para:
Portanto, podemos estimar que a raiz vale:
Massa!
Passo 3
Ainda precisamos mostrar que tem mais uma solução!
Vamos testar no intervalo dessa vez:
Opa, tem raiz aí sim, hein!
Opa, a raiz tá entre e . Daí:
Puts, vamos restringir mais ainda então!!
Fazendo:
Excelente! A raiz está entre e . Fazendo:
Restringimos ainda mais! A raiz está entre e . Pra encerrar:
Logo, temos:
Como queremos uma estimativa com precisão de casas decimais:
Prontinho, galera! A parte mais importante é entender o TVI, depois é muita tentativa e erro até achar o valor mais próximo.
Valeu pessoal!!