USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.12
Seja uma função tal que , para todo no intervalo Calcule e .
Passo 1
E aí galerinha do bem, tudo certo com vocês?
Nessa questão queremos calcular os seguintes limites:
E:
Mas, não conhecemos a expressão de . Sabemos apenas que:
E, aí? Como podemos usar essa igualdade pra matar o nosso limite?
Então pessoal, a ideia principal é usarmos o nosso teorema do sanduíche!
Se sabemos que uma função está sempre limitada entre duas outras:
Então, também podemos afirmar que:
Tranquilo? Então vamo nessa!
Passo 2
Bom, vamos começar calculando . Pela desigualdade dada, temos que:
Isolando ficamos com:
Agora podemos aplicar o limite em todos os lados dessa desigualdade:
Vamos calcular esses limites:
Já para o outro limite, temos:
Portanto, encontramos que:
Excelente!
Passo 3
Vamos agora calcular o segundo limite pedido:
Algo muito importante que precisamos notar aqui é que:
É uma função limitada. :
Assim, independentemente do valor que estiver tendendo, o cosseno estará dentro desse intervalo. Por outro lado:
Daí, separando o limite pedido no produto dos limites, temos:
Esse segundo limite é sempre limitado, enquanto o primeiro é nulo.
Qual o produto de por um número qualquer entre e ?
ZERO!!
Ou seja:
É isso! Obrigado pela atenção pessoal 😊