Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 5, Q28

28) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

Passo 1

Fala galerinha!!

Essa questão demanda um pouquinho de criatividade rs. Ela pede pra gente dar um exemplo de uma função que não seja contínua no intervalo , que e tenham sinais contrários e continue valendo a tese do teorema do valor intermediário (T.V.T).

Bora começar revisando esse teorema, que diz o seguinte:

“Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.”

É importante a gente perceber que, mesmo havendo a necessidade de ser contínua no intervalo que aplicaremos o T.V.T, o intervalo que escolheremos aqui pode ter uma descontinuidade em um ponto, mas ser contínua no restante, de modo que podemos usar T.V.T nesse subintervalo contínuo.

Beleza, precisamos pensar em que função é um bom exemplo.

Passo 2

O grande ponto é que precisamos de uma função que não seja contínua em um certo ponto, mas que mesmo assim ainda valha o T.V.T (teorema do valor intermediário). Algumas boas funções para esses casos são aquelas que têm assíntota vertical, tipo:

Pois em ela tem uma assíntota vertical.

Elas são boas porque a descontinuidade ocorre unicamente em um ponto, sendo contínua no restante do intervalo. Assim, mesmo selecionando um intervalo que contenha essa descontinuidade, ainda haverá um subintervalo contínuo no qual a tese do T.V.T continua válida.

Usando esse mesmo exemplo de , para selecionar um intervalo em que haja troca do sinal de , podemos tomar:

Muito legal! Conseguimos selecionar uma função que possui uma descontinuidade (em , em um intervalo no qual há inversão de sinal, , e no qual a tese continua válida, pois é raiz de .

Único cuidado extra que precisamos ter aqui é pra não selecionar uma função que não tenha raiz real, na qual a inversão de sinal se deva apenas por causa da descontinuidade (exemplo: .